交叉正线性映射、正多项式与平方和

矩阵空间之间的线性映射 $\Phi$ 被称为交叉正的，如果它在正交对 $(U,V)$ 的半正定矩阵上是正的，即 $\langle U,V\rangle:=\text{Tr}(UV)=0$ 蕴含 $\langle \Phi(U),V\rangle\geq0$，并且如果它的所有扩大 $I_n\otimes \Phi$ 都是交叉正的，则称其为完全交叉正的。（完全）交叉正映射出现在算子半群理论中，有时被称为指数正映射，并且在数学金融中对称锥上的仿射过程理论中也具有重要意义。对于每个如上所述的 $\Phi$，通过 $p_\Phi(x,y)=y^T\Phi(xx^T)y$ 关联一个双齐次形式。那么，$\Phi$ 是交叉正的当且仅当 $p_\Phi$ 在正交向量对簇 $\{(x,y)\mid x^Ty=0\}$ 上是非负的。此外，证明了 $\Phi$ 是完全交叉正的当且仅当 $p_\Phi$ 是模主理想 $(x^Ty)$ 的平方和。这些观察将交叉正映射的研究带入了实代数几何的强大框架中。本文利用这种相互作用来证明交叉正映射中完全交叉正映射所占比例的定量界限。给出了关于在 $3\times 3$ 矩阵之间映射的交叉正映射 $\Phi$ 的详细结果。最后，提出了一种生成非完全交叉正的交叉正映射的算法。