保持矩阵乘积迹的映射

我们证明在 $M_n$ 的某些子集上满足 $\operatorname{tr}(\phi_1(A)\phi_2(B))=\operatorname{tr}(AB)$ 的两个映射 $\phi_1$ 与 $\phi_2$ 的线性与单射性。将其应用于刻画满足 $$\operatorname{tr} (\phi_1(A_1)\cdots \phi_m(A_m))=\operatorname{tr} (A_1\cdots A_m)$$ 的映射 $\phi_i:\mathcal{S}\to \mathcal{S}$（$i=1, \ldots, m$），其中当 $m\ge 3$ 时 $\mathcal{S}$ 为 $n$ 阶一般矩阵、Hermitian 矩阵或对称矩阵的集合，当 $m\ge 2$ 时 $\mathcal{S}$ 为正定或对角矩阵的集合。同时给出实版本结果。