基于迹正线性映射的量子信息不等式

我们提出了涉及 $C^*$-代数之间迹正线性映射的量子信息不等式的一些推广。在若干结果中，我们建立了一个非交换 Heisenberg 不确定性关系。更确切地说，我们证明，如果 $\Phi: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 是 $C^*$-代数之间的迹正线性映射，$\rho \in \mathcal{A}$ 是一个 $\Phi$-密度元，且 $A,B$ 是 $\mathcal{A}$ 的自伴算子，使得对于某些标量 $0<m<M$ 有 ${\rm sp}(\mbox{-i}\rho^\frac{1}{2}[A,B]\rho^\frac{1}{2}) \subseteq [m,M]$，那么在某些条件下成立 \begin{eqnarray}\label{inemain1} V_{\rho,\Phi}(A)\sharp V_{\rho,\Phi}(B)\geq \frac{1}{2\sqrt{K_{m,M}(\rho[A,B])}} \left|\Phi(\rho [A,B])\right|, \end{eqnarray} 其中 $K_{m,M}(\rho[A,B])$ 是算子 $\mbox{-i}\rho^\frac{1}{2}[A,B]\rho^\frac{1}{2}$ 的 Kantorovich 常数，$V_{\rho,\Phi}(X)$ 是 $X$ 的广义方差。此外，我们使用一些不同于标量理论的论证，提出了一些与广义相关和广义 Wigner-Yanase-Dyson 斜信息相关的不等式。