与算子均值及正线性映射相关的一个一般双重不等式

设 $A,B\in \mathbb{B}(\mathscr{H})$ 满足 $0<b_{1}I \leq A \leq a_{1}I$ 且 $0<b_{2}I \leq B \leq a_{2}I$，其中标量 $0<b_{i}< a_{i},\;\; i=1,2$，并设 $\Phi:\mathbb{B}(\mathscr{H})\rightarrow\mathbb{B}(\mathscr{K})$ 为一个正线性映射。我们证明对于任何具有表示函数 $f$ 的算子均值 $\sigma$，双重不等式 \omega^{1-\alpha}(\Phi(A)#_{\alpha}\Phi(B))\le (\omega\Phi(A))\nabla_{\alpha}\Phi(B)\leq \frac{\alpha}{\mu}\Phi(A\sigma B) 成立，其中 $\mu=\frac{a_{1}b_{1}(f(b_{2}a_{1}^{-1})-f(a_{2}b_{1}^{-1}))}{b_{1}b_{2}-a_{1}a_{2}},$ $\nu=\frac{a_{1}a_{2}f(b_{2}a_{1}^{-1})-b_{1}b_{2}f(a_{2}b_{1}^{-1})}{a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}},$ $\omega=\frac{\alpha \nu}{(1-\alpha)\mu}$，且 #_{\alpha}（分别为 $\nabla_{\alpha}$）是 $\alpha \in (0,1)$ 时的加权几何（分别为算术）均值。作为应用，我们提出了几个广义算子不等式，包括 Diaz--Metcalf 型和反向 Ando 型不等式。我们还给出了一些涉及 Hadamard 积和算子均值的相关不等式。