扇形矩阵的算子均值不等式

在本注记中，我们证明了涉及扇形矩阵算子均值的一些不等式，它们是对已有结果的推广与精炼。其中，设 $A$ 和 $B$ 为两个增生矩阵且 $A,B\in\mathcal{S}_{\theta}$，$0 < mI \leqslant A, B \leqslant MI$ 对正实数 $M, m$ 成立，$\, \sigma$ 为算子均值，$\sigma^{*}$ 为 $\sigma$ 的伴随均值。若 $\sigma^*\leqslant \sigma_1,\sigma_2\leqslant \sigma$ 且 $\Phi$ 为正保单位线性映射，则 $$\Phi^{p}\Re(A \sigma_{1} B) \leqslant \sec^{2p}\theta\alpha^{p} \Phi^{p}\Re(A \sigma_{2} B),$$ 其中 $$\alpha= \max \left \lbrace K, 4^{1-\frac{2}{p}}K \right \rbrace,$$ 且 $K= \frac{(M+m)^2}{4mM}$ 为 Kantorovich 常数。