$C^*$-代数上正映射的一个分解性质

这篇短注的目的，是澄清并给出 Piani 与 Mora (Physic. Rev. A 75, 012305 (2007)) 一个有趣观察的一般版本，该观察将矩阵代数上线性映射的完全正性与它们扩增的可分解性联系起来。设 $A_i$、$C_i$ 为含单位元 C*-代数，$\alpha_i$ 为从 $A_i$ 到 $C_i$ 的正线性映射，$i=1,2$。我们得到了如下条件：对任意从极小 C*-张量积 $A_1 \otimes_{min} A_2$ 到 $C_1 \otimes_{min} C_2$ 且满足 $\alpha_1 \otimes \alpha_2 \geq \beta$ 的正映射 $\beta$，可分解为 $\beta = \gamma \otimes \alpha_2$（其中 $\gamma$ 为某正映射）。特别地，我们证明当 $\alpha_i \colon A_i \rightarrow B(\mathcal H_i)$ 对某些 Hilbert 空间 $\mathcal H_i$ $(i=1,2)$ 为完全正（CP）映射，且 $\alpha_2$ 为纯 CP 映射、$\beta$ 为 CP 映射并使得 $\alpha_1 \otimes \alpha_2 - \beta$ 亦为 CP 时，则存在某 CP 映射 $\gamma$ 使 $\beta = \gamma \otimes \alpha_2$。我们证明在 $A_2 = C_2 = B(\mathcal H)$ 且 $\alpha_2 = id$ 的正线性映射情形下也有类似结果。作为一个应用，我们推广了 \cite[IX Theorem]{PM}（最近由 Huber 等人在 \cite{HLLM} 中重访），表明对任意从含单位元 C*-代数 $A$ 到 C*-代数 $C$ 的线性映射 $\tau$，若对某个 $k \geq 2$，$\tau \otimes id_k$ 可分解，其中 $id_k$ 为代数 $M_k(\mathbb {C} )$（即 $k\times k$ 矩阵代数）上的恒等映射，则 $\tau$ 是完全正的。