低秩矩阵、竞赛图与对称设计

设 $\mathbf{a} = (a_{i})_{i \geq 1}$ 是域 $\mathbb{F}$ 中的一个序列，$f \colon \mathbb{F} \times \mathbb{F} \to \mathbb{F}$ 是一个函数，使得对所有 $i \geq 1$ 有 $f(a_{i},a_{i}) \neq 0$。对于 $[n]$ 上的任意竞赛图 $T$，考虑 $n \times n$ 对称矩阵 $M_{T}(f, \mathbf{a})$，其对角线为零，且其 $(i,j)$ 项（对于 $i < j$）为：若 $T$ 中 $i \to j$，则为 $f(a_{i},a_{j})$；若 $T$ 中 $j \to i$，则为 $f(a_{j},a_{i})$。已知（参见 Balachandran 等人，Linear Algebra Appl. 658 (2023), 310-318）若 $T$ 是 $[n]$ 上的均匀随机竞赛图，则当 $\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2$ 且 $f$ 是线性函数时，$\operatorname{rank}(M_{T}(f,\mathbf{a})) \geq (\frac{1}{2}-o(1))n$ 以高概率成立。本文研究另一个极值问题：这类矩阵的秩能有多低？我们处理仅取两个不同值的序列 $\mathbf{a}$，因此任何此类 $n \times n$ 矩阵的秩至少为 $n/2$。首先，我们证明任何此类矩阵的秩取决于一个关联的二部图是否具有某些高重数的特征值。利用这一点，我们证明若 $f$ 是线性的，则存在秩至多为 $\frac{n}{2} + O(1)$ 的 $n \times n$ 实矩阵 $M_{T}(f;\mathbf{a})$。对于有理矩阵，我们证明对每个 $\varepsilon > 0$，都能找到一个序列 $\mathbf{a}(\varepsilon)$，使得存在秩至多为 $(\frac{1}{2} + \varepsilon)n + O(1)$ 的 $n \times n$ 矩阵 $M_{T}(f;\mathbf{a}(\varepsilon))$。这些矩阵由对称设计构造而成，我们也用它们来生成当 $n \leq 15$ 时大小大于 $\lfloor 3n/2 \rfloor - 2$ 的二分闭族，这改进了先前已知的最好界（参见 Balachandran 等人，Electron J. Combin. 26 (2019), #P2.40）。