关于随机对称矩阵最小奇异值的研究

设 $F_n$ 是一个 $n \times n$ 对称矩阵，其元素以 $n^{\gamma}$ 为界，其中 $\gamma>0$。考虑一个随机扰动矩阵 $M_n=F_n+X_n$，其中 $X_n$ 是一个随机对称矩阵，其对角线上方元素 $x_{ij}$ 是随机变量 $\xi$ 的独立同分布副本。在关于 $\xi$ 的非常一般的假设下，我们证明：对于任意 $B>0$，存在 $A>0$，使得 $P(\sigma_n(M_n)\le n^{-A})\le n^{-B}$。证明过程中使用了一个关于二次型集中性的逆类型结果，该结果本身也具有独立的研究意义。