随机对称矩阵的最小奇异值

设 $A$ 为 $n \times n$ 对称矩阵，其 $(A_{i,j})_{i\leq j}$ 独立同分布且服从次高斯分布。我们证明 $$\mathbb{P}(\sigma_{\min}(A) \leq \varepsilon/\sqrt{n}) \leq C \varepsilon + e^{-cn},$$ 其中 $\sigma_{\min}(A)$ 表示 $A$ 的最小奇异值，常数 $C,c>0$ 仅依赖于 $A$ 矩阵元的分布。该结果证实了关于随机对称矩阵最小奇异值下尾渐近的一个民间猜想，且除常数对 $A_{i,j}$ 分布的依赖外已是最优。在此过程中，我们证明了 $A$ 具有重复特征值的概率为 $e^{-\Omega(n)}$，从而证实了 Nguyen、Tao 与 Vu 的一个猜想。