随机独立同分布矩阵奇异值 quantitative 估计

设 $M$ 为 $n \times n$ 随机独立同分布矩阵。本文研究 $s_{n-k+1}(M)$（即矩阵 $M$ 的第 $k$ 小奇异值）的偏差不等式。具体而言，当 $M$ 的元素为子高斯分布时，我们证明对任意 $\gamma \in (0, 1/2), \varepsilon>0$ 且 $\log n \le k \le c\sqrt{n}$，有 \n\n$$\textsf{P}\{s_{n-k+1}(M)\le \frac{\varepsilon}{\sqrt{n}} \}\le \Big( \frac{C\varepsilon}{k}\Big)^{\gamma k^{2}}+e^{-c_{1}kn}. \nonumber$$\n\n该结果改进了 Nguyen 的结果，他获得的 $s_{n-k+1}(M)$ 的偏差不等式衰减形式为 $(C\varepsilon/k)^{\gamma k^{2}}+e^{-cn}$。