关于高斯矩阵幂的最小奇异值的一点注记

设$n,k\geq 1$，令$G$为$n\times n$随机矩阵，其元素为独立同分布的标准实高斯变量。我们证明存在仅依赖于$k$的常数$c_k,C_k>0$，使得$G^k$的最小奇异值满足$$c_k\,t\leq {\mathbb P}\big\{s_{\min}(G^k)\leq t^k\,n^{-1/2}\big\}\leq C_k\,t,\quad t\in(0,1],$$并且进一步，$$c_k/t\leq {\mathbb P}\big\{\|G^{-k}\|_{HS}\geq t^k\,n^{1/2}\big\}\leq C_k/t,\quad t\in[1,\infty),$$其中$\|\cdot\|_{HS}$表示Hilbert-Schmidt范数。