关于带离散噪声的最小奇异值的光滑分析

设 $A$ 为一个 $n\times n$ 实矩阵，并设 $M$ 为一个 $n\times n$ 随机矩阵，其元素为独立同分布的亚高斯随机变量，均值为 $0$，方差为 $1$。我们对 $A+M$ 的最小奇异值 $s_n(A+M)$ 的研究作出两点贡献。（1）我们证明对所有 $\epsilon \geq 0$，$$\mathbb{P}[s_n(A + M) \leq \epsilon] = O(\epsilon \sqrt{n}) + 2e^{-\Omega(n)},$$ 只要 $A$ 有 $\Omega (n)$ 个奇异值为 $O(\sqrt{n})$。这推广了 Rudelson 与 Vershynin 的一个著名结果，该结果要求 $A$ 的所有奇异值均为 $O(\sqrt{n})$。（2）我们证明任何形如 $$\sup_{\|{A}\|\leq n^{C_1}}\mathbb{P}[s_n(A+M)\leq n^{-C_3}] \leq n^{-C_2}$$ 的界必须满足 $C_3 = \Omega (C_1 \sqrt{C_2})$。这补充了 Tao 与 Vu 的一个结果，他们证明了具有 $C_3 = O(C_1C_2 + C_1 + 1)$ 的此类界，并反驳了他们关于可能取 $C_3 = O(C_1 + C_2)$ 的猜测。