随机矩阵奇异值谱的简单性与两点定量可逆性

设 $A$ 为一个 $n\times n$ 的随机矩阵，其元素为独立同分布、均值为0、方差为1的次高斯随机变量。我们证明了对某个 $c>0$，有 $$\mathbb{P}(A\text{ 有互异的奇异值})\geq 1-e^{-cn}$$ 从而证实了 Vu 的猜想。该结果随后被推广到具有独立同分布元素的矩形随机矩阵的奇异值上。我们还证明了，对于两个固定的实数 $\lambda_1,\lambda_2$，当 $|\lambda_1-\lambda_2|$ 具有足够大的下界时，对任意 $\epsilon>0$ 我们有联合奇异值小球估计： $$\mathbb{P}(\sigma_{min}(A-\lambda_1I_n)\leq\epsilon n^{-1/2},\sigma_{min}(A-\lambda_2I_n)\leq\epsilon n^{-1/2})\leq C\epsilon^2+e^{-cn},$$ 其中 $\sigma_{min}(A)$ 是方阵 $A$ 的最小奇异值，$I_n$ 是单位矩阵。对于小得多的 $|\lambda_1-\lambda_2|$，我们推导出了一个类似的估计，其中 $C$ 被替换为 $C\sqrt{n}/|\lambda_1-\lambda_2|$。这推广了 Rudelson 和 Vershynin 的一点估计，后者证明了 $\mathbb{P}(\sigma_{min}(A)\leq \epsilon n^{-1/2})\leq C\epsilon+e^{-cn}$。当 $A$ 具有独立同分布的实部和虚部时，我们证明了对任意复数 $\lambda_1,\lambda_2$，类似的界成立，此时估计右端的 $\epsilon^2$ 被替换为 $\epsilon^4$。这些两点估计可用于推导 $A$ 的两个特征值任意线性组合的强反集中界。