条件数与最小奇异值的平滑分析

设 $\a$ 为均值为零且方差有界的复随机变量。令 $N_{n}$ 为大小为 $n$ 的随机矩阵，其元素为 $\a$ 的独立同分布副本，$M$ 为同尺寸的固定矩阵。本文旨在给出矩阵 $M + N_{n}$ 的条件数和最小奇异值的通用估计，推广了 Spielman 和 Teng 针对 $\a$ 为高斯分布情形的早期结果。我们的研究揭示了一个有趣的事实，即“核心”矩阵 $M$ 确实对 $M+N_{n}$ 最小奇异值的尾部界限起作用。这在 $\a$ 为高斯分布的 Spielman-Teng 研究中并未出现。因此，我们的通用估计涉及范数 $\|M\|$。在 $\|M\|$ 相对较小的特殊情况下，该估计近乎最优，并扩展或改进了现有结果。