非厄米随机矩阵的Wegner估计与特征值条件数的上界

我们考虑形式为$X+A$的$N\times N$非厄米随机矩阵，其中$A$是一个一般的确定性矩阵，而$\sqrt{N}X$由具有零均值、单位方差和有界密度的独立元素组成。对于这个系综，我们证明了(i)一个Wegner估计，即特征值的局部密度以$N^{1+o(1)}$为界，以及(ii)任何体特征值的期望条件数以$N^{1+o(1)}$为界；这两个结果在因子$N^{o(1)}$内都是最优的。后一个结果补充了文献[15] (arXiv:2301.03549)中最近得到的匹配下界，并改进了文献[5,6,32] (arXiv:1906.11819, arXiv:2005.08930, arXiv:2005.08908)中上界对$N$的依赖性。我们的主要工具，即对$X+A-z$的小奇异值的近最优下尾估计，具有独立的研究意义。