低秩扰动下条件数的平滑分析

设 $M$ 为任意的 $n$ 乘 $n$ 且秩为 $n-k$ 的矩阵。我们研究 $M$ 加上一个\emph{低秩}扰动 $UV^T$ 的条件数，其中 $U, V$ 为 $n$ 乘 $k$ 的随机高斯矩阵。在若干必要假设下，表明 $M+UV^T$ 不太可能具有大的条件数。此类扰动相对于被广泛研究的稠密高斯扰动（每个元素独立扰动）的主要优势在于存储 $U,V$ 的 $O(nk)$ 代价，以及执行矩阵-向量乘法 $(M+UV^T)x$ 所增加的 $O(nk)$ 时间复杂度。这改善了稠密扰动所需的 $\Omega(n^2)$ 空间与时间复杂度增量，若 $M$ 原本稀疏则尤为繁重。我们的结果还推广到 $U$ 和 $V$ 秩大于 $k$ 的情形，以及对称与复设置。我们还给出了一个线性方程组求解的应用并进行了一些数值实验。最后，讨论了将低秩噪声应用于平滑分析框架下其他研究问题时的障碍。