逐项变换矩阵乘积的低秩近似的困难性

受自然语言处理中快速算法的启发，我们研究逐项变换设定下的低秩近似，其中我们希望找到 $f(U \cdot V)$ 的一个良好秩 $k$ 近似，给定 $U, V^\top \in \mathbb{R}^{n \times r}$，$r = O(\log(n))$，$f(x)$ 为一通用标量函数。子线性低秩近似的先前工作表明，若（1）$U = V^\top$ 且（2）$f(x)$ 为 PSD 核函数，则存在一个 $O(nk^{\omega-1})$ 时间常数相对误差近似算法，其中 $\omega \approx 2.376$ 为矩阵乘法指数。我们给出该问题的首个条件时间困难性结果，证明对于广泛的函数类，条件（1）和（2）事实上均为获得优于 $n^{2-o(1)}$ 时间的相对误差低秩近似所必需。我们给出基于强指数时间假设（SETH）的新归约，其依赖于平坦稀疏向量的杠杆分数下界，并且即使当变换矩阵 $f(UV)$ 的秩与目标秩均为 $n^{o(1)}$ 且 $U = V^\top$ 时也成立。此外，即使当 $f(x) = x^p$ 为简单多项式时，我们在 $U \neq V^\top$ 情形下给出形如 $\Omega(\min(n^{2-o(1)}, \Omega(2^p)))$ 的运行时间下界。最后，我们通过给出一个 $O(n \cdot \text{poly}(k, 2^p, 1/\epsilon))$ 时间相对误差近似算法以及一种使用基于张量的快速草图的 $O(n \cdot \text{poly}(k, p, 1/\epsilon))$ 时间快速加性误差近似，证明我们的下界是紧的。另外，由于我们的低秩算法依赖于矩阵-向量乘积子程序，我们的下界可扩展至表明计算 $f(UV)W$（即使对一个小矩阵 $W$）需要 $\Omega(n^{2-o(1)})$ 时间。