无矩假设下随机矩形矩阵的最小奇异值

设 $\delta>1$ 和 $\beta>0$ 为某些实数。我们证明存在仅依赖于 $\beta$ 和 $\delta$ 的正数 $u,v,N_0$，具有如下性质：对于任意满足 $N\ge \max(N_0,\delta n)$ 的 $N,n$，任意具有独立同分布条目且满足 $\sup\limits_{\lambda\in {\mathbb R}}{\mathbb P}\bigl\{|a_{11}-\lambda|\le 1\bigr\}\le 1-\beta$ 的 $N\times n$ 随机矩阵 $A=(a_{ij})$，以及任意非随机 $N\times n$ 矩阵 $B$，$A+B$ 的最小奇异值 $s_n$ 满足 ${\mathbb P}\bigl\{s_n(A+B)\le u\sqrt{N}\bigr\}\le \exp(-vN)$。该结果在不对 $A$ 的条目分布做任何矩假设的情况下依然成立。