关于具有相关项的随机矩阵的最小奇异值

设 $\mathbf X$ 为一个随机矩阵，其项对 $X_{jk}$ 和 $X_{kj}$ 是相关的，且向量 $(X_{jk},X_{kj})$（对于 $1\le j<k\le n$）相互独立。假设对角项也与非对角项独立。我们假设对于任意 $j,k=1,\ldots,n$，有 $\mathbb{E} X_{jk}=0$，$\mathbb{E} X_{jk}^2=1$，且对于 $1\le j<k\le n$，有 $\mathbb{E} X_{jk}X_{kj}=\rho$。设 $\mathbf M_n$ 为一个非随机 $n\times n$ 矩阵，满足 $\|\mathbf M_n\|\le Kn^Q$，其中 $K>0$ 和 $Q\ge 0$ 为某些正常数。令 $s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)$ 表示矩阵 $\mathbf X+\mathbf M_n$ 的最小奇异值。结果表明，存在仅依赖于 $K,Q,\rho$ 的正常数 $A$ 和 $B$，使得 $$\mathbb{P}(s_n(\mathbf X+\mathbf M_n)\le n^{-A})\le n^{-B}.$$ 作为此结果的应用，我们证明了具有非独立同分布相关项的此类矩阵的椭圆律。