关于非厄米随机矩阵及其乘积的局部律

本文旨在证明非厄米随机矩阵圆律的一个局部版本，并将其推广到弱矩条件下的非厄米随机矩阵乘积。更确切地说，我们假设非厄米随机矩阵 ${\bf X}^{(q)}, 1 \le j,k \le n, q = 1, \ldots, m, m \geq 1$ 的元素 $X_{jk}^{(q)}$ 为 i.i.d. 随机变量，满足 $\mathbb E X_{jk} =0, \mathbb E X_{jk}^2 = 1$ 且对于某个 $\delta > 0$ 有 $\mathbb E |X_{jk}|^{4+\delta} < \infty$。我们证明了局部律在最优尺度 $n^{-1+2a}, a > 0$ 上成立（至多相差一个对数因子）。我们进一步发展了一种 Stein 型方法，以估计极限分布的 Stieltjes 变换方程的扰动。我们还推广了近期的结果 [Bourgade--Yau-Yin, 2014]、[Tao--Vu, 2015] 和 [Nemish, 2017]。文中讨论了向非 i.i.d. 元素情形的推广。