确定性矩阵与随机矩阵乘积的局部圆律

众所周知，具有独立元素的重新缩放的平方非厄米随机矩阵的特征值谱测度满足圆律。我们考虑乘积 $TX$，其中 $T$ 是一个确定的 $N\times M$ 矩阵，$X$ 是一个随机的 $M\times N$ 矩阵，其独立元素零均值且方差为 $(N\wedge M)^{-1}$。在 $N\sim M$ 且矩阵元素 $X_{ij}$ 具有足够高阶矩的假设下，我们证明了 $TX$ 的经验谱分布（ESD）在远离单位圆的任意点 $z$ 处满足一般的局部圆律。更确切地说，若 $z$ 满足 $||z|-1|\ge \tau$（对任意小的 $\tau>0$），则 $TX$ 的 ESD 收敛到 $\tilde \chi_{\mathbb D}(z) dA(z)$，其中 $\tilde \chi_{\mathbb D}$ 是由 $T$ 的奇异值决定的旋转不变函数，$dA$ 表示 $\mathbb C$ 上的勒贝格测度。局部圆律在 $z$ 附近直至尺度 $(N\wedge M)^{-1/4+\epsilon}$ 对任意 $\epsilon>0$ 成立。此外，若 $|z|>1$ 或 $X$ 的矩阵元素具有消失的三阶矩，则局部圆律在 $z$ 附近直至尺度 $(N\wedge M)^{-1/2+\epsilon}$ 对任意 $\epsilon>0$ 成立。