关于实 Davies 猜想

我们证明，每个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 至少在 $\delta$$\|A\|$-距离内接近于一个实矩阵 $A+E \in \mathbb{R}^{n\times n}$，其后者的特征向量条件数至多为 $\tilde{O}_{n}(\delta^{-1})$。事实上，我们证明，以高概率而言，取 $E$ 为具有有界密度的 i.i.d. 实亚高斯矩阵的足够小的倍数即可。这基本证实了 Davies 以及 Banks、Kulkarni、Mukherjee 和 Srivastava 的推测，他们最近对 i.i.d. 复高斯矩阵证明了此类结果。在此过程中，我们还证明了关于元素具有任意均值的随机矩阵任意两个特征值之间最小可能距离的非渐近估计；我们论文的这一部分可能具有独立意义。