对数因子意义下乘性极难逼近矩阵

令 $\|x\|$ 表示 $x\in\mathbb{R}$ 到最近整数的距离。本文中，我们证明了对满足 $$\liminf_{|\boldsymbol{q}|_{\infty}\to +\infty}\prod_{j=1}^{n}\max\{1,|q_{j}|\}\log\left(\prod_{j=1}^{n}\max\{1,|q_{j}|\}\right)^{m+n-1}\prod_{i=1}^{m}\|A_{i}\boldsymbol{q}\|>0$$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$ 的存在性与稠密性结论，其中向量 $\boldsymbol{q}$ 取遍 $\mathbb{Z}^{n}$，$A_{i}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行。该结果将 Moshchevitin 关于 $2$ 维向量的先前结果推广至任意维。将 Moshchevitin 方法应用于 $m>2$ 情形所需的估计目前尚不具备。因此我们发展了截然不同的方法，得以克服此困难。我们还将此存在性结果推广至非齐次情形。具有上述性质的矩阵似乎具有极小的分数部分倒数和。这一事实有助于阐明 L^e 与 Vaaler 提出的一个问题，从而证明此类和在高维中的一些新估计。