非循环矩阵的密度

域$\mathbb{F}$上所有$n\times n$矩阵的代数${\rm M}(n,\mathbb{F})$中的元素$X$称为$f$-循环的，如果作为$\mathbb{F}[X]$-模的底层向量空间至少有一个循环主分量。这些矩阵在MeatAxe算法中Norton不可约性检验的Holt-Rees版本中被认为是“好的”。我们证明，对于任何有限域$\mathbb{F}_q$，${\rm M}(n,\mathbb{F}_q)$中“不好”的矩阵的比例随着维数$n$趋于无穷大而指数衰减到零。反过来，我们证明MeatAxe中“好”矩阵的密度依赖于次数，表明对于$q\geq4$，它至少为$1-\frac2q(\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+\frac{2}{q^3})^n$。我们猜想对于所有$q$和$n$，密度至少为$1-\frac1q(\frac{1}{q}+\frac{1}{2q^2})^n$，并确认了该猜想对于维数$n\leq 37$成立。最后，我们给出一个单边蒙特卡洛算法IsfCyclic来测试矩阵是否“好”，代价为${\rm O}({\rm Mat}(n)\log n)$次域运算，其中${\rm Mat}(n)$是${\rm M}(n,\mathbb{F}_q)$中两个矩阵相乘所需域运算次数的上界。