最大可约矩阵代数中循环矩阵的比例

令 ${\rm M}(V)={\rm M}(n,\mathbb{F}_q)$ 表示 $\mathbb{F}_q$ 上的 $n\times n$ 矩阵代数，并令 ${\rm M}(V)_U$ 表示归一化 $V=\mathbb{F}_q^n$ 中给定 $r$ 维子空间 $U$ 的（最大可约）子代数，其中 $0<r<n$。我们证明了 ${\rm M}(V)_U$ 中非循环矩阵的密度至少为 $q^{-2}\left(1+c_1q^{-1}\right)$，且至多为 $q^{-2}\left(1+c_2q^{-1}\right)$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是与 $n,r$ 及 $q$ 无关的常数。常数 $c_1=-\frac43$ 和 $c_2=\frac{35}3$ 即已足够。