半单矩阵代数的维数

对于 $n \geq 225$，我们证明每一个形如 $n + 2m$ 且满足 $0 \leq 2m \leq n^{2} - \frac{9}{2} n \sqrt{n}$ 的整数都是 $\mathrm{M}_{n}(k)$ 的一个连通半单子代数的维数，即一个同构于 $t$ 个互不相交子代数 $\mathrm{M}_{n_{i}}(k)$ 的直和的子代数，其中 $\sum_{i=1}^{t} n_{i} = n$。由此我们得出结论：在 $[0,\ldots, n^{2}]$ 中是 $\mathrm{M}_{n}(k)$ 的半单子代数维数的整数之密度，当 $n \rightarrow \infty$ 时趋于 $1$。