关于调和数分母的探讨

设 $H_n$ 为第 $n$ 个调和数，设 $v_n$ 为其分母。众所周知，对每个整数 $n\ge 2$，$v_n$ 均为偶数。在本文中，我们研究 $v_n$ 的性质。我们的结果之一为：使得 $v_n$ 被 $1, 2, \cdots, \lfloor {n^{1/4}}\rfloor$ 的最小公倍数整除的正整数 $n$ 所组成的集合具有密度一。特别地，对任意正整数 $m$，使得 $v_n$ 被 $m$ 整除的正整数 $n$ 所组成的集合具有密度一。