集合的矩阵代数与分解复杂性的变体

我们引入度量空间中子集的矩阵代数，并应用它来改进 Yamauchi 和 Davila 关于渐近性质 C 的结果。以下是一个代表性结果：假设 $X$ 是一个 $\infty$-伪度量空间，且 $n\ge 0$ 是一个整数。$X$ 的渐近维数至多为 $n$，当且仅当对于任意实数 $r > 0$ 和任意整数 $m\ge 1$，存在一个由 $X$ 的尺度-$r$-维数为 $0$ 的子空间构成的增广 $m\times (n+1)$-矩阵 $\mathcal{M}=[\mathcal{B} |\mathcal{A}]$（这意味着 $\mathcal{B}$ 是一个列矩阵，$\mathcal{A}$ 是一个 $m\times n$-矩阵），使得 $\mathcal{M}\cdot_\cap \mathcal{M}^T$ 大于或等于单位矩阵，且 $B(\mathcal{A},r)\cdot_\cap B(\mathcal{A},r)^T$ 是一个对角矩阵。