minor-闭族及更广类的渐近维数
组合数学
2021-09-08 v2 离散数学
摘要
度量空间的渐近维数是由 Gromov 引入的几何群论中的重要概念。本文考虑的度量空间以图的顶点集为底空间、以图中的距离函数为度量。标准紧致性论证表明只需考虑有限图类的渐近维数。本文证明了任意真 minor-闭族、任意有界树宽图类以及任意有界分层树宽图类的渐近维数分别至多为 2、1 和 2。第一个结果解决了 Fujiwara 与 Papasoglu 的一个问题；第二与第三个结果解决了 Bonamy、Bousquet、Esperet、Groenland、Pirot 和 Scott 的若干疑问。这些渐近维数界是最优的，并改进了文献中的若干结果。我们的证明可转化为线性或二次时间算法，用于寻找见证渐近维数的覆盖，这等价于寻找图的弱直径着色。我们证明的关键要素是关于具有已知渐近维数的遗传类上、有界粘连树分解的图类的渐近维数统一机制，其本身可能具有独立意义。
引用
@article{arxiv.2007.08771,
title = {Asymptotic dimension of minor-closed families and beyond},
author = {Chun-Hung Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.08771},
year = {2021}
}