诱导子式、渐近维数与 Baker 技术

渐近维数是度量空间的一个大尺度不变量，由 Gromov (1993) 引入。我们证明，每个排除某个图作为 fat minor 的有界度图的遗传类，其渐近维数至多为 $2$，这是最优的。这一结果在 Bonamy, Bousquet, Esperet, Groenland, Liu, Pirot 和 Scott (J. Eur. Math. Soc. 2023) 提出的一个问题上取得了实质性进展。我们证明的关键是一个受 Baker 技术 (J. ACM 1994) 启发的概念。我们称一个图类 $\mathcal{G}$ 具有有界 Baker-树宽，如果存在一个函数 $f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，使得对于每个图 $G\in \mathcal{G}$，存在 $G$ 的一个分层，使得由任意 $\ell$ 个连续层的并集诱导的子图，其树宽至多为 $f(\ell)$。我们证明，每个排除某个图作为诱导子式的有界度图类都具有有界 Baker-树宽。我们讨论了这一结果在聚类着色和线性时间近似方案设计中的进一步应用。