诱导子图与树分解 V. 大度顶点的小连通分支

Aboulker、Adler、Kim、Sintiari 和 Trotignon 猜想，每个最大度有界且树宽很大的图必包含一个大细分墙或一个大细分墙的线图作为诱导子图。该猜想最近由 Korhonen 证明，但在一般情形（即无最大度有界条件）下识别树宽有界的障碍问题仍远未解决。Sintiari 与 Trotignon 以及 Davies 已构造出避免“常见嫌疑”的大树宽结构实例。在本注记中，我们旨在更好地分离这些实例中导致大树宽的特征。为此，我们证明如下结果。设 $G$ 为一图，记 $\gamma(G)$ 为 $G$ 在度至少为3的顶点集上诱导出的图的极大连通分支的大小。若 $\gamma(G)$ 较小且 $G$ 的树宽很大，则 $G$ 必包含一个大细分墙或一个大细分墙的线图。该结果是最佳可能的，在如下意义下：若以任一更大数替换 $\gamma(G)$ 定义中的3，则结论不成立，Davies 的实例即证明了这一点。