诱导子图与树分解 XII. 掐紧图的网格定理

给定整数 $c\in \mathbb{N}$，若图 $G$ 不包含由 $c$ 个圈组成的诱导子图，这些圈均经过同一个公共顶点，除此之外两两不相交且它们之间没有边，则称 $G$ 为 $c$-掐紧图。关于 $c$-掐紧图的结构能得出什么结论？例如，$1$-掐紧图恰好是树宽为 $1$ 的图。然而，对于 $c>1$，有界树宽立刻被证明是不可能的，因为完全图、完全二部图、细分墙以及细分墙的线图都是树宽任意大的 $2$-掐紧图的例子。对于更大的 $c$ 值甚至存在第五种阻碍，由 Pohoata 发现、后来 Davies 独立发现，由具有无界树宽且不含与前述四种阻碍中任一者同构的大诱导子图的 $3$-掐紧图构成。我们将上述五个例子融合为一个网格型定理，完整描述了具有大树宽的掐紧图中不可避免的诱导子图。更精确地，我们证明对每个整数 $c\in \mathbb{N}$，$c$-掐紧图 $G$ 具有大树宽当且仅当 $G$ 包含如下之一作为诱导子图：大完全图、大完全二部图、大墙的细分、大墙之细分的线图，或来自 Pohoata-Davies 构造的大图。我们的主要结果也推广到掐紧图的一个扩展，其中被排除的圈的长度有下界。