诱导子图与树分解 XIII. 有限 $\mathcal{H}$ 的无 $\mathcal{H}$ 图类中的基本障碍

与minor不同，有界树宽在诱导子图意义上的障碍种类繁多，包括对每个 $t\geq 1$ 的 $t$-基本障碍：图 $K_{t+1}$ 和 $K_{t,t}$，以及 $t$×$t$ 墙的细分及其线图。但该列表远不完整。一个“非基本”障碍的最简单例子由 Pohoata 和 Davies（各自独立）给出。对每个 $n \geq 1$，他们构造了树宽为 $n$ 且不含作为诱导子图的 $3$-基本障碍的某些图，我们称之为 $n$-arrays。称一个图类 $\mathcal{G}$ 是干净的，如果 $\mathcal{G}$ 中有界树宽的障碍实际上只有基本障碍。由此可知，对有界树宽的诱导子图障碍的完整描述，等价于刻画所有使得全体无 $\mathcal{H}$ 图类为干净的图族 $\mathcal{H}$（若 $G$ 的诱导子图均不同构于 $\mathcal{H}$ 中任何图，则称 $G$ 为 $\mathcal{H}$-free）。这一点仍难以捉摸，但有一个直接的必要条件：若无 $\mathcal{H}$ 图是干净的，则至多只有有限多个整数 $n\geq 1$ 使得存在无 $\mathcal{H}$ 的 $n$-array。上述必要条件一般并不充分。然而，若 $\mathcal{H}$ 有限，情况则不同：我们证明对每一个有限图集 $\mathcal{H}$，全体无 $\mathcal{H}$ 图类干净当且仅当除可能有限多个 $n$ 值外不存在无 $\mathcal{H}$ 的 $n$-array。