渐近维数万有空间的新构造

对于每个 $n$，我们构造一个可分度量空间 $\mathbb{U}_n$，它在渐近维数 ($\mathop{asdim}$) 不超过 $n$ 的可分度量空间的粗范畴中是万有的，并且在一致维数 ($\mathop{udim}$) 不超过 $n$ 的可分度量空间的一致范畴中也是万有的。因此，$\mathbb{U}_n$ 在大尺度拓扑和无穷小拓扑中均充当维数 $n$ 的万有空间。更确切地说，我们证明：$$\mathop{asdim} \mathbb{U}_n = \mathop{udim} \mathbb{U}_n = n$$ 并且对于每个可分度量空间 $X$，a) 若 $\mathop{asdim} X \leq n$，则 $X$ 粗等价于 $\mathbb{U}_n$ 的一个子集；b) 若 $\mathop{udim} X \leq n$，则 $X$ 一致同胚于 $\mathbb{U}_n$ 的一个子集。