固定矩阵-矩阵乘法次数相关的多项式集合

我们考虑计算矩阵多项式 $p(X)$ 的问题，其中 $X$ 为大型稠密矩阵，目标是尽可能少地使用矩阵-矩阵乘法。更准确地说，设 $\Pi_{2^{m}}^*$ 表示使用 $m$ 次矩阵-矩阵乘法即可计算的多项式集合，但允许任意数量的矩阵加法和缩放操作。我们通过表格参数化来描述该集合。通过推导表格表示的等价变换，我们建立了可用于构造 $\Pi_{2^{m}}^*$ 元素的新方法，并确定该集合的一般性质。变换允许我们消去变量并证明维数被限制在 $m^2$ 内，这随后被证明是尖锐的，即 $\dim(\Pi_{2^m}^*)=m^2$。因此，我们识别了一个到目前为止我们所知的第一个最小参数化。我们还通过代数几何的计算工具来研究最大程度 $d$ 使得该度数下的所有多项式都属于 $\Pi_{2^{m}}^*$ 或其闭包。在许多情况下，计算设置是 constructively 的，即它也可用于确定给定多项式的具体求值方案。