矩阵值测度的正交与非正交可约性

如果一个矩阵值测度 $\Theta$ 存在常数可逆矩阵 $M$ 使得 $M\Theta M^*$ 为块对角，则它可约化为更小尺寸的测度。等价地，对所有 Borel 集 $X$ 满足 $T\Theta(X)=\Theta(X) T^*$ 的所有矩阵 $T$ 构成的实向量空间 ${\mathscr A}$ 是非平凡的。如果 $\Theta$ 的交换代数 $A$ 中自伴元素子空间 $A_h$ 非平凡，则 $\Theta$ 可通过酉矩阵约化。本文证明 ${\mathscr A}$ 是 $*$-不变的当且仅当 $A_h={\mathscr A}$，即 $\Theta$ 的每次约化都可通过酉矩阵实现。本文的动机源于与群 ${\rm SU}(2)\times {\rm SU}(2)$ 及其量子类比相关的矩阵值多项式族。在这两种情况下，交换代数 $A=A_h\oplus iA_h$ 的维数为二，且矩阵值测度酉约化为 $2\times 2$ 块对角矩阵。此处我们证明不存在进一步的非酉约化。