矩阵的正交加性与正交乘性全纯函数

设 $H:M_m\to M_m$ 为复 $m\times m$ 矩阵代数 $M_m$ 上的全纯函数。假设 $H$ 在自伴元素上是正交可加且正交可乘的。我们证明：要么 $H$ 的值域由零迹元素组成，要么存在一个标量序列 $\{\lambda_n\}$ 和 $M_m$ 中的可逆元 $S$，使得 $$H(x) =\sum_{n\geq 1} \lambda_n S^{-1}x^nS, \quad\forall x \in M_m,$$ 或者 $$H(x) =\sum_{n\geq 1} \lambda_n S^{-1}(x^t)^nS, \quad\forall x \in M_m.$$ 这里，$x^t$ 是矩阵 $x$ 的转置。在后一种情况下，当 $H$ 还保持零乘积时，我们总能得到第一种表示形式。我们还讨论了定义域和值域具有不同维数的情况。