非交换 $L^p$-空间上的正交加性多项式

设 $\mathcal{M}$ 为具有正规半有限忠实迹 $\tau$ 的von Neumann代数。我们证明，从 $L^p(\mathcal{M},\tau)$（其中 $0<p<\infty$）到每个拓扑线性空间 $X$ 的每一个连续 $m$-齐次多项式 $P$，若满足当 $x$ 和 $y$ 为 $L^p(\mathcal{M},\tau)$ 中相互正交的正元素时 $P(x+y)=P(x)+P(y)$，则可以表示为 $P(x)=\Phi(x^m)$ $(x\in L^p(\mathcal{M},\tau))$ 的形式，其中 $\Phi\colon L^{p/m}(\mathcal{M},\tau)\to X$ 为某个连续线性映射。