非交换单调 Lévy 噪声的正交多项式 Meixner 类

设 $(X_t)_{t\ge0}$ 为非交换单调 Lévy 过程，$\omega=(\omega(t))_{t\ge0}$ 为相应的单调 Lévy 噪声。$\omega$ 的连续多项式是相应非交换 $L^2$-空间 $L^2(\tau)$ 中形如 $\sum_{i=0}^n\langle \omega^{\otimes i},f^{(i)}\rangle$ 的元素，其中 $f^{(i)}\in C_0(\mathbb R_+^i)$。记 $\mathbf{CP}$ 为 $\omega$ 的所有连续多项式构成的空间。对 $f^{(n)}\in C_0(\mathbb R_+^n)$，正交多项式 $\langle P^{(n)}(\omega),f^{(n)}\rangle$ 定义为单项式 $\langle\omega^{\otimes n},f^{(n)}\rangle$ 到 $L^2(\tau)$ 中与所有阶数 $\le n-1$ 的 $\omega$ 的连续多项式正交的子空间上的正交投影。记 $\mathbf{OCP}$ 为正交多项式的线性张成。每个正交多项式 $\langle P^{(n)}(\omega),f^{(n)}\rangle$ 仅依赖于函数 $f^{(n)}$ 在集合 $\{(t_1,\dots,t_n)\in\mathbb R_+^n\mid t_1\ge t_2\ge\dots\ge t_n\}$ 上的限制。正交多项式使我们能够构造一个酉算子 $J:L^2(\tau)\to\mathbb F$，其中 $\mathbb F$ 是扩展单调 Fock 空间。因此，我们可以将单调噪声 $\omega$ 视为作用于 $\mathbb F$ 中的线性算子的分布。若 $\mathbf{CP}=\mathbf{OCP}$，则称正交多项式属于 Meixner 类。我们证明了 Meixner 类中的每个正交多项式系统由两个参数刻画：$\lambda\in\mathbb R$ 和 $\eta\ge0$。此时，单调 Lévy 噪声具有表示 $\omega(t)=\partial_t^\dag+\lambda\partial_t^\dag\partial_t+\partial_t+\eta\partial_t^\dag\partial_t\partial_t$，其中 $\partial_t^\dag$ 和 $\partial_t$ 是作用于 $\mathbb F$ 中 $t\in\mathbb R_+$ 处的（形式）创生算子和湮灭算子。