具有自由独立值的非交换广义随机过程的Meixner类 II. 生成函数

设 $T$ 是一个带有非原子测度 $\sigma$ 的底空间。在[{\it Comm.\ Math.\ Phys.}\ {\bf 292} (2009), 99--129]中，具有自由独立值的非交换广义随机过程 $\omega=(\omega(t))_{t\in T}$ 的Meixner类通过相应正交多项式的连续性得到了刻画。本文推导了这些正交多项式的生成函数。我们首先要回答的问题是：对于无限多个非交换变量的多项式系统，什么应作为其生成函数？我们构造了一类算子值函数 $Z=(Z(t))_{t\in T}$，使得 $Z(t)$ 与任意 $s,t\in T$ 的 $\omega(s)$ 交换。那么，生成函数可以理解为 $G(Z,\omega)=\sum_{n=0}^\infty \int_{T^n}P^{(n)}(\omega(t_1),...,\omega(t_n))Z(t_1)...Z(t_n)\sigma(dt_1)...\sigma(dt_n)$，其中 $P^{(n)}(\omega(t_1),...,\omega(t_n))$ 是第 $n$ 个正交多项式（的核）。我们推导出 $G(Z,\omega)$ 的显式形式，它具有预解形式，并类似于经典情形下的生成函数，尽管它涉及非交换算子的积分。最后，我们讨论了湮灭算子 $\partial_t$, $t\in T$ 作用的相关问题。与经典情形相反，我们证明了与自由高斯过程和泊松过程相关的算子 $\partial_t$ 具有全局性。这一结果是真正无限维的，因为在一维情形下会失去全局性的概念。