自由 Itô 过程的非交换 $C^2$ 函数的 Itô 公式

在最近一篇论文中，作者引入了一类丰富的“非交换 $C^k$”函数 $NC^k(\mathbb{R})$：$\mathbb{R} \to \mathbb{C}$，其算子函数演算是 $k$ 次可微的，且导数可用多重算子积分(MOIs)表示。在本文中，我们通过证明自伴自由 Itô 过程的非交换 $C^2$ 函数的 Itô 公式，探索自由随机微积分与 MOIs 理论之间的联系。为此，我们首先将 P. Biane 与 R. Speicher 的自由随机微积分理论——包括其关于多项式的自由 Itô 公式——进行推广，以允许由多维半圆布朗运动驱动的自由 Itô 过程。随后，在自伴情形下，我们根据 MOIs 重新解释多项式自由 Itô 公式中出现的对象。这使我们能够将可表述并证明自由 Itô 公式的函数类，从 Biane 与 Speicher 最初考虑的空间（具有两个有限矩的复测度的傅里叶变换）扩大至严格更大的空间 $NC^2(\mathbb{R})$。在此过程中，我们还获得了一个有用的关于自伴自由 Itô 过程的任意 $C^2$ 标量函数的“迹”Itô 公式。最后，作为动机，我们研究了 $N \times N$ 厄米矩阵 Itô 过程的 $C^2$ 标量函数的 Itô 公式。