具有自由独立值的非交换广义随机过程的 Meixner 类 I. 一种刻画

设 $T$ 为带有非原子测度 $\sigma$ 的底空间（例如 $T=\mathbb R^d$ 且 $\sigma$ 为勒贝格测度）。我们引入并研究了一类以 $T$ 的点为指标、具有自由独立值的非交换广义随机过程。这样一个过程（场）$\omega=\omega(t)$，$t\in T$，通过用 $T$ 上的测试函数进行涂抹而被赋予严格的含义，其中 $\int_T \sigma(dt)f(t)\omega(t)$ 是全 Fock 空间中的一个（有界）线性算子。我们定义了 $\omega$ 的所有连续多项式的集合 $\mathbf{CP}$，然后通过在范数 $\|P\|_{L^2(\tau)}:=\|P\Omega\|$ 下取 $\mathbf{CP}$ 的闭包来定义非交换 $L^2$ 空间 $L^2(\tau)$，其中 $\Omega$ 是 Fock 空间中的真空。通过多项式的正交化过程，我们构造了 $L^2(\tau)$ 与（Fock 空间型）希尔伯特空间 $\mathbb F=\mathbb R\oplus\bigoplus_{n=1}^\infty L^2(T^n,\gamma_n)$ 之间的酉同构，其中测度 $\gamma_n$ 是显式给定的。我们将 Meixner 类确定为那些其正交化过程使集合 $\mathbf {CP}$ 保持不变的过程。（注意，在一般情况下，$n$ 阶连续单项式在第 $n$ 个混沌上的投影不必保持为连续多项式。）Meixner 类的每个元素由 $T$ 上的两个连续函数 $\lambda$ 和 $\eta\ge0$ 表征，使得在 $\mathbb F$ 空间中，$\omega$ 具有表示 $\omega(t)=\di_t^\dag+\lambda(t)\di_t^\dag\di_t+\di_t+\eta(t)\di_t^\dag\di^2_t$，其中 $\di_t^\dag$ 和 $\di_t$ 是点 $t$ 处通常的产生和湮灭算子。