随机集与 (II 型) 希尔伯特空间连续张量积系统的不变量

在一系列论文中，Tsirelson 从随机集的测度类型与广义随机过程构造了 Arveson 为分类 $E_0$-半群所引入的希尔伯特空间连续张量积系统的一批新例子。本文建立其逆：每个希尔伯特空间连续张量积系统都伴随有 [0,1] 或 $R_+$ 中随机（闭）集分布的测度类型。这些测度类型是平稳的且对不相交区间分解。在此构造的特殊情形中，相应测度类型是积系统的不变量，并刻画了该不变量的值域。此外，基于对这类测度类型的详细研究，我们为每个平稳分解测度类型构造了一个希尔伯特空间连续张量积系统，使得该测度类型作为前述不变量出现。上述类型的测度类型与相应 $L^\infty$-空间的表示相关联。这导致给定积系统元素的直接积分表示，其在张量积下良好结合。以构造性方式利用此结构，我们可将任意（III 型）积系统联系于一个保同构类的 $II_0$ 型积系统。因此，III 型积系统的分类归结于 II 型的分类。进一步，我们证明代数连续张量积系统上的所有一致可测结构均给出同构的积系统。因而希尔伯特空间连续张量积系统的可测结构本质上由其代数结构决定。