希尔伯特空间上关于平移和正交变换不变的测度

在无穷维实希尔伯特空间 $E$ 上定义了一个关于平移和正交映射不变的有限可加测度 $\lambda$。该测度就其关于上述变换的不变性而言，可视为勒贝格测度的类似物。所构造的测度定义在由可测矩形生成的希尔伯特空间子集环 $\cal R$ 上。一个可测矩形是一个无穷维平行多面体，其各边长的乘积无条件收敛。平移和旋转不变测度是作为一族平移不变测度 $\lambda _{\cal E}$ 的延拓而获得的，其中每个测度 $\lambda _{\cal E}$ 定义在可测矩形环 ${\cal R}_{\cal E}$ 上，这些矩形的边与空间 $E$ 中某组标准正交基 $\cal E$ 的向量共线。在标准正交基的集合上，根据从一组标准正交基到另一组的转换矩阵引入了一个等价关系。该等价关系允许将对应于不同基的子集环上定义的测度粘合为定义在唯一环 $\cal R$ 上的单一测度 $\lambda$ 。所得到的测度 $\lambda$ 关于平移和旋转不变。得到了测度 $\lambda$ 分解为相互奇异的平移不变测度之和。本文描述了关于所构造的平移和旋转不变测度 $\lambda$ 平方可积的数值函数空间 $\cal H$ 的结构。得到了空间 $\cal H$ 分解为对应于所有可能基等价类的子空间的正交和。研究了在平方可积函数空间 $\cal H$ 中通过参数的正交变换作用酉群。