有限 Hilbert 变换的度数论视角

有限 Hilbert 变换 $T$ 在经典 Zygmund 空间 $\logl$ (定义于 $(-1,1)$) 中作用时，曾在 \cite{curbera-okada-ricker-log} 中受到广泛研究。本文通过 $L^1(-1,1)$-值度数 $\mlog\colon A\mapsto T(\chi_A)$ 对每个 Borel 集 $A\subseteq(-1,1)$ 建立了 $T$ 的积分表示。这种积分表示以及 $\mlog$ 的各种非平凡性质，使得可用度数论方法（此前在 \cite{curbera-okada-ricker-log} 中不可用）来建立 $T$ 的新性质。例如，作为 Banach 函数空间间的算子 $T$ 不是有序的, 它既不完全连续，也不弱紧致。$T$ 的恰当 Parseval 公式起关键作用。