(-1,1) 上有限 Hilbert 变换的反演与延拓

优化不等式或其等价的算子理论表述的原理在分析学中已得到确立。对于一个算子而言，这对应于将其作用延拓到更大的定义域，并期望延拓到尽可能大的此类定义域（即其 \textit{最优定义域}）。一些经典算子已被最优地定义（例如 $L^p(\mathbb{R})$ 上的 Hilbert 变换，$1<p<\infty$），而另一些则没有（例如 $L^p(\mathbb{T})$ 上的 Hausdorff-Young 不等式，$1<p<2$，或各种空间中的 Sobolev 不等式）。本文对作用于 $(-1,1)$ 上重排不变空间 $X$ 的有限 Hilbert 变换 $T$ 进行了详细研究，该算子的奇异核既非正也不具备任何单调性性质。对于此类空间 $X$ 的一大类，证明了 $T$ 在 $X$ 上已被最优地定义（对于所有 $1<p<\infty$ 的 $L^p(-1,1)$，除 $p=2$ 外，这是已知的）。$p=2$ 的情况显著不同，因为 $T$ 的值域是 $L^2(-1,1)$ 的一个真稠密子空间。然而，通过一种完全不同的方法，确立了 $T$ 在 $L^2(-1,1)$ 上也被最优地定义。我们的方法还用于证明翼型方程的解（由于 $T$ 的某些性质，对于所有 $p\not=2$ 的空间 $L^p(-1,1)$，该解是众所周知的）也可以延拓到本文所考虑的 r.i. 空间类 $X$ 上。