L(L_p) 上的乘法算子与 $\ell_p$-严格奇异算子

本文给出了 $L(L_p)$ ($1<p<\infty$) 上弱紧乘法算子的分类，回答了 Saksman 和 Tylli 于 1992 年提出的问题。该分类涉及 $\ell_p$-严格奇异算子的概念，我们还研究了 $L_p$ 上一般 $\ell_p$-严格奇异算子的结构。主要结果是：若 $L_p$ ($1<p<2$) 上的算子 $T$ 是 $\ell_p$-严格奇异的，且 $T_{|X}$ 对于 $L_p$ 的某个子空间 $X$ 是同构，则 $X$ 可嵌入到所有 $r<2$ 的 $L_r$ 中，但 $X$ 未必同构于 Hilbert 空间。此外还证明，若 $T$ 是 Cantor 群上 $L_p$ ($1\le p <2$) 中由有偏硬币产生的卷积，且 $T_{|X}$ 对于 $L_p$ 的某个自反子空间 $X$ 是同构，则 $X$ 同构于 Hilbert 空间。$p=1$ 的情形回答了 Rosenthal 于 1976 年提出的问题。