关于作用在 $L_p$ 上的 Enflo 算子和窄算子

本文第一部分受到 H. Rosenthal 定理的启发，该定理指出：如果 $L_1[0,1]$ 上的算子满足对于每个可测集 $A \subseteq [0,1]$，其限制 $T \bigl|_{L_1(A)}$ 都不是同构嵌入，则该算子是窄算子。（此处 $L_1(A) = \bigl\{x \in L_1: \,\, {\rm supp} \, x \subseteq A \bigr\}$。）这引出了一个自然的问题：寻找给定空间 $X$ 上算子的最温和条件，以蕴含该算子是窄算子。我们对 $1<p<2$ 的 $L_p(0,1)$ 上的算子找到了该问题的部分答案。具体而言，我们定义了函数“温和”增长的概念，并证明了对于 $1 < p < 2$，任何在 $L_p(A)$ ($A \subseteq [0,1]$) 上通过具有“温和”增长的函数无下界的 $L_p$ 上的算子 $T$ 都是窄算子。在本文的第二部分，我们考虑了对于哪些 Banach 空间 $X$，每个算子 $T:L_p \lra X$ 都是窄算子的问题。我们证明了对于 $2 < p, r < \infty$，每个算子 $T: L_p\rightarrow\ell_r$ 都是窄算子，从而完成了从 $L_p$ 到序列空间和函数 Lebesgue 空间算子的结果列表。