$L(L_p)$ 中闭理想的数目

我们证明在 Banach 代数 $L(L_p(0,1))$（$1<p\not= 2<\infty$）中存在 $2^{2^{\aleph_0}}$ 个不同的闭理想。这解决了 A. Pietsch 1978 年著作《Operator Ideals》中的一个问题。该证明不同于在 Banach 空间上有界算子空间中生成闭理想的其他方法；特别地，这些理想不包含于严格奇异算子之中，且也不包含到非希尔伯特子空间上的投影。我们给出了一个具有无条件基的空间在项上存在单个具有某些特殊渐近性质算子时拥有 $2^{2^{\aleph_0}}$ 个闭理想的判据。进而我们证明对 $1<q<2$，Rosenthal 的空间 ${\frak X}_q$（同构于 $L_q(0,1)$ 的一个补子空间）容许这样一个算子。