Tsirelson 与 Schreier 空间上算子的闭理想

令 $\mathscr{B}(X)$ 表示 X 上有界算子的 Banach 代数，其中 X 为 Tsirelson Banach 空间或某 $n\in\mathbb N$ 的 n 阶 Schreier 空间。我们证明 $\mathscr{B}(X)$ 的闭理想格具有非常丰富的结构；特别地，$\mathscr{B}(X)$ 至少包含连续统多个极大理想。我们的方法是研究由基投影生成的闭理想。事实上，单位向量基是上述每个空间的无条件基，因此对每个非空子集 $N\subset\mathbb N$ 存在对应的基投影 $P_N\in\mathscr{B}(X)$。若 $\mathscr{B}(X)$ 的闭理想由某个 N 的 $P_N$ 生成，则称其为空间的。我们现在可以陈述主要结论如下：i) 严格位于紧算子理想与 $\mathscr{B}(X)$ 之间的空间理想族非空且无极小或极大元；ii) 对每对严格包含的空间理想 $\mathscr{I}\subsetneqq\mathscr{J}$，存在族 $\{\Gamma_L\colon L\in \Delta\}$，其中指标集 $\Delta$ 具有连续统的基数，使得 $\Gamma_L$ 是不可数空间理想链，$\bigcup\Gamma_L$ 是非空间的闭理想，且当 $L,M\in\Delta$ 不同且 $\mathscr{L}\in\Gamma_L$、$\mathscr{M}\in\Gamma_M$ 时，$$\mathscr{I}\subsetneqq\mathscr{L}\subsetneqq\mathscr{J}\qquad\text{且}\qquad \overline{\mathscr{L}+\mathscr{M}} = \mathscr{J}$$ 。